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不要玩自己无法承受损失的游戏09（第1页）

在运气面前保持清醒不要玩自己无法承受损失的游戏09

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天才和疯子只有一线之隔这句话，赛诺已经听腻了。

“轮盘的弹道预测，体谅我必须从幂次定律开始思考。幂次定律的形式是y=ax?，它不是从某个单一理论推导出来的，而是人类观察自然现象后发现的普遍模式。最早的使用例子是克卜勒第三定律，他发现行星公转周期T与轨道半径r满足T?正比于r?——而牛顿从万有引力定律中，推导出这是一个幂次关系。”

“为什么自然界到处都是幂次定律？核心原因是尺度不变性（scaleinvariance），如果一个系统在不同尺度下行为相似，数学上必然导出幂次形式。让我们开始分析哪个函数f（x）在尺度变换下不变？可以很快发现唯一满足这个条件的函数就是幂函数f（x）=ax?。指数函数和对数函数都不具备这个性质，为什么？这个要用具体数字验证。幂函数f（λx）=λ?×f（x）——这个公式的意思是把输入放大λ（Lambda）倍，输出也跟着放大固定的λ?倍，比例关系不随x本身的大小而改变，取f（x）=x?，λ=3来计算，我们可以得到f（3x）=（3x）?=9x?=3?×f（x），也就是说无论x=1还是x=100，放大三倍输入，输出永远放大九倍，我们可以发现比例显而易见是固定的。”

“指数函数为什么不行？因为系数会随x爆炸增长，没有固定比例；对数函数则是完全不固定。之所以谈到幂次函数的原因是，在轮盘球的应用上，球的减速涉及空气阻力与摩擦力，物理上空气阻力正比于速度平方，滚动摩擦正比于速度，这些都是幂次关系，组合后导致角速度衰减也呈现幂次或是指数结构。因此，欢迎来到微积分世界。”

“我假设轮盘球的减速行为服从一阶线性ODE，公式是x（t）=Ae??+C。这是什么意思对吧？首先，我们必须知道的第一件事是微分方程的定义在说——含有未知函数及其导数的方程，普通代数方程求的是未知数，例如x?-5x+6=0，解是x=2或x=3。微分方程求的是未知函数，例如dydx=y，解是y（x）=Ce?，代入后等式成立。ODE是OrdinaryDifferentialEquation的缩写，意思是常微分方程，特征是未知函数只有一个自变数，会这么说的原因是因为还有PDE，PartialDifferentialEquation，意思是偏微分方程，特征是未知函数有多个自变数含偏导数。”

“轮盘球问题的x（t）只随时间t一个变数变化，所以是ODE。我说了公式是x（t）=Ae??+C，我们先把公式看成A=1B×T（max）。B是指在轮盘上，记录球每一圈的耗时得到的一系列数据。我现在只能以肉眼观察轮盘，接着就是对数据取对数后做线性回归，得出的斜率便会是B。”

“线性回归是一种统计方法，用来描述一个或多个自变数，与一个因变数之间的线性关系。讲直白一点就是，在数据中找一条直线或超平面，使所有数据点到这条线的距离平方和最小。它是一个几何、代数，以及统计问题。”

“我用肉眼观察的数据总共有两个。一是从开始计时起的累积时间秒，二是当下每圈耗时的周期。我会用到的计算方法是最小二乘回归（LeastSquaresRegression）。这个方法来源于Gauss与Legendre的天文学问题。Legendre1805年在研究彗星轨道时，第一个公开发表了最小二乘法，但纯粹是计算技巧，后来Gauss声称自己从1795年就开始使用，并在1809年给出理论基础——假设误差是常态分布，最合理的参数估计就是让预测值与观测值的平方差总和最小。”

“球的减速模型假设成周期随时间指数增长。公式是T（τ）=T0×eBτ，这本身当然不是线性，但对两边取自然对数，公式lnT=lnT0+Bτ，令Y=lnT、X=τ，得到Y=斜率（B）×X+截距（lnT0）。”

赛诺抬起头，观察着轮盘继续道：“稍等，我现场观测一下——”

“你现场观测一下？现场吗？！”女士惊呼，“你是认真的吗？！”

“对啊不然还能怎么办？毕竟不能带计算机，带计算机被发现好像是犯罪？”

斯坦利：“妳应该习惯他就是这种人了。”

“当累积时间是0。97秒，周期是0。35秒，截距是-1。050。。。。。。嗯，以此类推之后我拟合出的斜率B大约是320=0。15。啊，也就是说，每过一秒，球的周期乘以常数e的0。15次方约等于1。16，即每秒减速约16%。”

“回到我们原本的公式A=1B×T（max），我们现在来讨论T（max）。T（max）是在说球脱离外轨的临界速度——意思是当球的周期超过某个值，离心力不足以维持它在外轨上，球就会自然落下。这个部分也是纯粹的物理观察，误差完全取决于我或是斯坦的眼睛。”

“差不多两秒吧。”斯坦利说。

“两秒的话，那就是每秒约0。5圈。”赛诺思考，“现在我们可以代入A=1B×T（max），来求A的数值了。”

“A=1（320）×2=1（310）=103。”赛诺说，“不过这个只能算是初始近似值吧，因为T（max）会受到轮盘型号、磨损程度不同的影响，所以A值跟着改变是一定的。”

“我们回到最原始的公式x（t）=Ae??+C。求C很简单，当球即将停止时，剩余时间t=0，剩余圈数也应为0。x（0）=A×常数e的零次方+C=A+C=0，得到C=-A=-103。”

“恭喜我们得到了预测公式所需的球运动方程理论模型之原始公式ABC的数值。预测公式预测的是当球每圈耗时T秒时，他还剩几圈才会落入格子。现在来对原始公式求导，这边会使用到的是1（e?-1）（Planckdistribution）。Planck在1900年为了解释黑体辐射，首次推导出这个表达式，描述在温度T下，频率为ω的量子态平均被占据的光子数。”

“已知x（t）=103（e?????-1），球的瞬时角速度dxdt=12e?????，周期T是角速度的倒数嘛，T=1（dxdt）=2e??????，又反解t代回原公式换成用T，得到203T-103。代入具体数字验证，T=0。5秒时，20（3×0。5）-103=10圈，但这个是把球的运动视为积分，我在此做一个修正，当每圈是离散跳跃，T较大、也就是球比较慢时预测会差很多。T很小就几乎相同。所以1（e的（0。075次方-1）-103=9。507圈。”

赛诺注意到荷官要动手了，开口道：“我们来实战应用吧。”

赛诺的眼底倒映着球影，“球还剩几圈？带入刚才推出来的预测公式，当前球的周期是0。5秒圈，因此球还剩9。5圈，再代入T=2e的-3t20次方，解出剩余9。2秒球才脱离外轨。”

斯坦利和女士发现在这个时候，赛诺的计算已经快于荷官脱手而出的球了。

“由于球顺时针转了9。5圈，0。5×360°=180°，我知道球脱轨的位置是在定子参考点的正对面顺时针180°处。”

“再来，球落入转盘的时刻是9。2+2=11。2秒，转盘逆时针转动Ω×11。2=0。2×11。2=2。24圈=0。24×360°=86。4°。”

赛诺话音落下，斯坦里和女士可以看见，0号格晚一步从参考点逆时针移动了86。4°。

“球落在定子180°顺时针的位置。转盘0号格在86。4°逆时针的位置。两者转向相反，我计算球相对0号格的位置180°+86。4°=266。4°，360°38约等于9。47°，所以球会落在0号隔起算的266。4°9。47°=28。131°，也就是第28格。”

球喷出外轨，“美式轮盘从0起算的逆时针排列是0，28，9，26，30，11，7，20，32，17，5，22，34，15，3，24，36，13，1，00，27，10，25，29，12，8，19，31，18，6，21，33，16，4，23，35，14，2。”

球滚落时，几乎和赛诺的声音同步，“因此球会落在轮盘左下方，距0和00大约四分之三圈处、31和6之间的——”　　“18。”

斯坦利和女士安静地看着不偏不移落在18隔间的球。

“！”

“。”

然后——

斯坦利：“怎么了，笑什么，这么开心？”

“没什么，不过说真的，我都被自己想法震撼到了，重罪啊简直。”